Ecuaciones lineales

Las ecuaciones siempre han sido uno de los problemas y los dolores de cabeza de muchos estudiantes.

Sin embargo cuando se conocen bien las terminologías de los elementos que componen las ecuaciones es mucho más sencillo ponerlas en práctica.

En el post de hoy, siguiendo con la temática de las ecuaciones y de los aspectos de la matemática, seguiremos con otra de las tipologías de las ecuaciones, las ecuaciones lineales.
Ecuaciones lineales, Introducción: 

Recordemos que las ecuaciones, son las igualdades que se dan entre dos expresiones llamadas miembros y que se elevan a alguna potencia, dependiendo de esa potencia o de ese número exponencial, es que clasifican las ecuaciones.

Las ecuaciones lineales o también llamadas de primer grado, son aquellas que se encuentran elevadas a una sola potencia a un solo exponencial que es igual a uno (1).

Las ecuaciones están formadas por varios elementos que la determinan o clasifican como tal, es decir lo primero que se debe tener en cuenta para identificar una ecuación lineal, es que tenga como exponente el número uno (1).

Los otros aspectos, se catalogan entre las constantes, es decir los elementos que no cambian su valor dentro de la ecuación y a lo largo del despeje, las variables, aquellas que permiten ser u ocupar un valor cualquiera dentro de las ecuaciones.

No olvidemos los números, sobre todo enteros, aquí es decir en las ecuaciones no caben otro tipo de números y no olvidemos la incógnita, que a fin de cuentas es la razón de ser de las ecuaciones.

Las ecuaciones lineales, admiten algún tipo de  representaciones, por ello mencionaremos algunas de estas:

-         Ecuaciones lineales en el espacio n-dimensional: En este tipo de representación, se tienen en cuenta aquellos aspectos que tienen más que ver con la geometría y las interpretaciones de esta.

De este modo las funciones de ecuaciones lineales, representan una superficie, considerada como hiperplana con n -1.

-         Sistemas de ecuaciones lineales: Este tipo de sistema, consiste en tener varias ecuaciones lineales tratadas bajo un método matricial, es decir que se comparan dos sistemas de ecuaciones lineales y se admiten como equivalentes, cuando tienen el mismo resultado o muchas similitudes.

-         Sistemas de Linealidad: Se dice que las ecuaciones lineales, cumplen con la condición de la linealidad, si cumplen con una proposición, esta es: f (x+y) = f(x) + f(y) ---- f (ax) = af (x)

Dentro de las ecuaciones lineales, encontramos algo de historia, hacia el año de 1700 a.c (aproximadamente) se comienza a experimentar con los símbolos y con la resolución de  ecuaciones, este periodo, se le conoce como algebra geométrica, empleada por los griegos, ellos permitieron resolver ecuaciones por medio del uso de las figuras que la geometría nos ofrece.

Con Descartes, las ecuaciones evolucionan, y de esta forma se perfila como una ciencia que estudia los cálculos simbólicos y las ecuaciones en general.

Después de que Descartes, ayuda a consolidar el término y la ciencia de las ecuaciones, aparece Euler, quien define las ecuaciones como un sistema que abarca varias expresiones, entre ellas fraccionarios, números racionales entre otros.

La evolución de las ecuaciones y de las ecuaciones lineales, tardó al menos unos 3000 años en desarrollarse como tal, desde los principios de ella en Egipto y en la antigua Babilonia, donde las civilizaciones dejaron un sin números de problemas resueltos, entre ellos muchos que contenían aspectos de las ecuaciones.

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones:

Habíamos nombrado anteriormente, los sistemas de ecuaciones lineales, decíamos que un sistema de ecuaciones lineales, emplea varias ecuaciones de este tipo y las acomoda de tal forma que queden paralelas una encima de otra, de esta forma, dentro del sistema se hallan incógnitas, casi siempre dos.

Existen varios tipos de sistemas de ecuaciones lineales, veamos:

-         Sistema incompatible: Este tipo de sistemas son simplemente aquellos que son imposibles de solucionar, no importa el procedimiento, no importa las formas que se intenten para hacerlo, es imposible de resolver.

-         Sistemas compatibles: Los compatibles, son aquellos que si tienen solución, y este a su vez se divide en dos, los compatibles determinados y los compatibles indeterminados.

-         Los sistemas compatibles indeterminados, son aquellos que abarcan un sin fin de números infinitos que forman una variedad continua.

Por otro lado, los sistemas compatibles determinados, son aquellos que tienen un número finito de soluciones.

Dentro de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones lineales, tienen métodos de solución, estos son:

-         Métodos analíticos: Los métodos de tipo analítico solo se emplean para las ecuaciones de tipo lineal y restringido para las de tipo no lineal.

-         Métodos numéricos: Este tipo de método, aplica siempre para algoritmos  numéricos que permiten calcular algunos elementos para calcular un sistema de ecuaciones.

Recordemos que los sistemas de ecuaciones abarcan muchas ecuaciones de tipo lineal y que usualmente son organizadas mediante el tratamiento matricial, es decir el tratamiento de la matriz, que consiste en convertir estas ecuaciones en equivalentes.

-         Métodos gráficos: Este tipo de métodos como su nombre lo dice, hacen alusión a formas más didácticas y prácticas de demostración, sin embargo están restringidas únicamente para dos o tres ecuaciones.

Muchas ecuaciones tienen las siguientes categorías o características para ser determinadas como ecuaciones de tipo lineal: 

-         Sistemas que representen rectas y curvas, pero que en un momento dado se unen en algún punto.

-         Sistemas que muchas veces tienen resultados falsos y cuya gráfica arroja rectas o curvas que nunca se unen entre sí.

-         Cuando un sistema arroja soluciones finitas, por lo tanto las representaciones gráficas de esto son puntos puestos en todas partes del plano.

-         Cuando un sistema arroja resultados de ecuaciones equivalentes.
-         Sistemas en donde se presenta una redundancia, por tanto se descarta una de las ecuaciones o conjunto de ecuaciones.

Estos han sido algunos aspectos de las ecuaciones lineales o de primer grado, más importantes dentro de lo que abarca el tema.

Recuerden que el sistema de ecuaciones lineales solo abarca o emplea las ecuaciones, pero no son como tal.


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