La multiplicación es cuestión de método

Para hacer ejercicio en el gimnasio y ganar acondicionamiento físico necesitas método y una rutina diaria, para aprender a multiplicar y ser el mejor en ello, también requieres método. Las técnicas actuales de la multiplicación enseñan que el método de hacerlo es por decenas, centenas, miles y así sucesivamente, veámoslo con un ejemplo.

Empecemos por unas cifras pequeñas para luego convertir las operaciones en más complejas. Supongamos que deseas multiplicar 325 por 32, entonces comienzas por multiplicar los números más grandes es decir 30 por 300 para obtener 9,000, luego 30 por 20 con el resultado de 600, le sigue 30 por 5 que equivalen a 150, sigues con el 2 multiplicado primero por 300, luego el 2 por 20 y por último el 2 por 5, para al final sumar cada uno de estos resultados parciales.

El método de multiplicación consiste en fraccionar las cifras en las decenas, centenas y miles, lo cual resulta más fácil. Para el caso del ejemplo y de la cifra 325, esta se puede fraccionar en 300 + 20 + 5, a la vez que la cifra 32 en 30 + 2, para luego ir multiplicando por partes como se mencionó con anterioridad.

La razón de utilizar este método es que resulta más fácil multiplicar cifras redondas como 30 por 20, que intentar hacerlo de una vez con 35 por 25. Lo mismo que ocurre si intentas hacer muchas cosas al tiempo, como armar una figura en lego, en donde primero armas la cabeza, por separado las piernas y brazos, luego el cuerpo, y al final si intentas unir todas las partes para obtener el resultado final. La multiplicación también funciona con método.

Simplificar la multiplicación

Simplificando la multiplicación es más fácil

En las matemáticas como en la multiplicación, los números más grandes siempre se pueden simplificar en cantidades menores que sean más fáciles de realizar. Por ejemplo si necesitas multiplicar 15 por 35, una forma de hacerlo es multiplicar primero 35 por 10 que es 350, y luego sumarle la multiplicación de 35 por 5 que sería la mitad de la primera es decir 175, obteniendo un gran total de 525.

Siempre es conveniente realizar primero las multiplicaciones que son múltiplos de 10, porque solo le agregas un cero o dos o tres, al número. Por ejemplo para multiplicar 125 por 15, puedes primero realizar 125 por 10 que es 1,250, y luego 125 por cinco que de nuevo es la mitad de 1,250 o sea 625, para obtener la suma de 1,250 con 625, y el gran total de la multiplicación en 1,875.

Recuerda que cuando simplificas las multiplicaciones todo te será más fácil, y no solo existe una única forma de hacerlo, sino varias dentro de las cuales tu puedes encontrar tu propia forma de lograrlo. Por ejemplo la multiplicación entre 12 y 34, la puedes simplificar en 34 por 10 y luego sumar 34 por 2, o puedes realizar 12 por 30 y luego sumarle 12 por 4. Tú eliges lo que más te conviene, pero siempre la simplificación ayuda.

De la misma forma como es más fácil solucionar un problema cuando lo divides en sus partes menores y más sencillas de atender, en la multiplicación también será más fácil realizar la operación cuando la divides en partes más sencillas, así que no dudes en hacerlo.

Beneficios de la multiplicación

La multiplicación se puede realizar con calculadoras y equipos sofisticados, en los cuales no necesitas desgastarte pensando en la operación ni aprenderte las tablas matemáticas. Pero si te dijera que hacer las multiplicaciones en forma mental y manual sin la ayuda de la tecnología, te desarrolla tu capacidad mental, la habilidad para razonar, mejora tu memoria y capacidad de concentración, activa las funciones cerebrales, y retardaría tu vejez y enfermedades mentales. Entonces creo que no dudarías en practicar las matemáticas con mayor frecuencia.

A medida que las personas comienzan a delegar sus funciones en las máquinas, lo único que logran es fomentar la pereza, dilatar su crecimiento intelectual, y evitar que el cerebro aumente su potencial. Por ello, no te conformes con el camino fácil que pone a tu disposición la tecnología, no creas que con utilizar la calculadora es suficiente para aprobar la materia y las asignaturas escolares. Date cuenta que lo único que estás haciendo es evitar que tu inteligencia y capacidades intelectuales mejoren para poder luego aplicarlo en tu trabajo, bienestar y prosperidad.

No dejes que la pereza y la zona de confort te mantengan satisfecho, y por el contrario busca que la multiplicación, las tablas, los ejercicios matemáticos, los retos y el uso del cerebro, te permitan seguir creciendo como persona y profesional. Los beneficios serán múltiples, en tu desempeño intelectual y en tu accionar, porque la mente y el cuerpo se encuentran en una unión inseparable e indisoluble. No te conformes y a empezar a practicar la multiplicación, los trucos, los retos, los ejercicios prácticos.

Trucos por número

Truco para multiplicar por
(2)   Sume el número a sí mismo (por ejemplo 2 x 9 = 9 +9)
(5) La última cifra siempre va 5,0,5,0, ..,
Es siempre la mitad de 10 × (Por ejemplo: 5x6 = es la mitad de 10x6, es decir la mitad                  de de 60 = 30)
(6)  Si se multiplica 6 por un número par, ambos terminan en el mismo dígito.

Ejemplo: 6 x 2 = 12, 6 × 4 = 24, 6 x 6 = 36, etc.
(9)  Es 10 veces superior al número menos el número. Ejemplo: 9 × 6 = 10 x 6 - 6 = 60-6 = 54

La última cifra siempre va 9,8,7,6, ..

Si se suman los dígitos de la respuesta, se obtiene 9.

Ejemplo: 9 × 5 = 45 y 5+4 = 9. (Pero no con 9 × 11 = 99)
(10)   Poner un cero luego del numero
(11)   Hasta 9x11: sólo tiene que repetir los dígitos (por ejemplo: 4x11 = 44)

 de 10x11 a 18x11: escribir la suma de los dígitos del centro:

(Por ejemplo: 15x11 = 1 (1 +5) 5 = 165)

Nota: esto funciona con cualquier número de dos dígitos, pero si la
suma de los dígitos es más de 9, se tendrá que
"Llevar a la" (ejemplo: 75x11 = 7 (7 +5) 5 = 7 (12) 5 = 825).

12 es de 10 × 2 × más

Aprender a multiplicar

Los fundamentos de la multiplicación. El concepto de multiplicación como una suma repetida. Lo que significa que la multiplicación es una manera rápida de añadir una serie de números.
3 x 5 significa añadir números “3”, cinco veces o:

3 + 3 + 3 + 3 + 3

Lección 2

La propiedad conmutativa de la multiplicación simplemente significa que no importa qué número es el primero cuando se escribe el problema. La respuesta es la misma.

3 x 5 = 5 x 3 (Los números pueden ser cambiados de posición y la respuesta es la misma.)

Lección 3

Las tablas de multiplicar cero

La multiplicación es una suma repetida, entonces:

0 x 3 = 0 + 0 + 0 = 0

Debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación:

0 x 4 = 4 x 0 = 0

0 x 9 = 9 x 0 = 0

Cualquier número multiplicado por cero es siempre cero!

Lección 4

La tabla de multiplicación del uno.
                                                                                    
La multiplicación es una suma repetida, entonces:

1 x 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación:

1 x 4 = 4 x 1 = 4
1 x 8 = 8 x 1 = 8
Cualquier número multiplicado por uno es siempre el mismo número!

Para qué sirve la suma

La suma es tal vez la operación matemática más difundida y utilizada de todas. Porque se comporta como el cimiento a partir de donde se construyen las matemáticas. Si te dijeran en que operación matemática piensas de primero, con seguridad es la suma, luego vendrá la resta, que se puede comportar como una suma en donde está presente el numero negativo, 8 + -4.

La suma y en general las matemáticas son la base de las finanzas, así que si deseas ser en el futuro financiero, trabajar en algún Banco, ser emprendedor y dueño de tu negocio, llevar las cuentas claras del dinero, hacer presupuestos para las compras o salir de vacaciones, solicitar un préstamo, y hasta gastar con la tarjeta de crédito, lo mejor es que comiences a practicar a suma y disfrutar de la operación matemática, porque la vas a utilizar mucho.

Imaginemos por algún momento que realizas en vacaciones un pequeño trabajo, y al final del mismo te pagan el dinero prometido, con dos billetes de $100 y tres billetes de $50. Si deseas saber cuánto te pagaron y si corresponde al compromiso, no hay más remedio que practicar la suma. En este caso del ejemplo correspondería a 100+100 = 200, que hacen referencia a los 2 billetes de $100, luego a 50+50+50 = 150, perteneciente a los 3 billetes de $50. Para finalizar deberías sumar 200+150 = 350, es decir incluyes los dos billetes de $100 y los tres de $50, con lo cual realmente recibiste por tu trabajo de vacaciones la suma de $350.

Ahora imaginemos que vas a pagar un viaje que cuesta $250, para lo cual cuentas con la mesada que recibes de $50 en cada uno de los meses. Si pudieras ahorrar la totalidad de la mesada, entonces comenzaría a sumar los $50 de cada mes hasta que llegues a tu meta de los $250 que necesitas para tu viaje. Con lo cual encuentras que si sumas $50 en 5 oportunidades, lo logras. Es decir, 50+50+50+50+50 = 250. Otra vez encuentras la importancia de la suma y de aprender a sumar en ejemplos prácticos de tu vida diaria.

Por último imaginemos que deseas registrar las ventas de una tienda de comida que tienes o cualquier otro tipo de negocio. Para ello, escribes en un libro las ventas del día, que son 5 y cuyos valores corresponden a $200, $40, $60, $150, $500. Otra vez debes sumar para encontrar el resultado que en este caso se relaciona con las ventas de tu negocio en el día. Para ello debes sumar los cinco valores, 200+40+60+150+500, lo cual puedes hacer por partes.

Empiezas con 200+40 = 240, luego le sumas a este valor 240+60 = 300, le sumas el siguiente 300+150 = 450, y terminas sumando el último y quinto número 450+500 = 950. Como resultado obtienes que las ventas del día fueran $950, que corresponden a la suma de las cinco ventas realizadas durante el día. Sin la suma no hubieras podido obtener este dato clave para tu negocio y las finanzas.

La su a sirven para todo, tu vida personal, tus estudios, tus proyectos, tu trabajo, tu negocio. Así quedes mejor hacerte amigo o amiga de la suma, sus diferentes operaciones y las matemáticas. Porque te van al ser indispensables.

La suma también puede ser negativa

Es natural que al pensar en la suma aparezcan en forma espontánea solo números positivos, como +3 o +345 o +28. Pero qué tal si te dijeran que en la suma pueden también tener cabida los números negativos? Tal vez te sorprenderías en forma positiva.

Esta operación puede ocurrir cuando sumas un número negativo con otro negativo, como 30 + -5 = 25, en donde la suma se comporta como una resta. También se puede presentar el numero negativo en la suma cuando se suman dos números negativos, por ejemplo, -5+ -5 =-10. Expliquemos un poco esta última operación.

Cuando sumas dos números negativos, la clave está en pensar por algún momento que se tratan de números positivos, realizar la suma y al final ponerle al resultado el menos. Vamos con un ejemplo: supongamos que deseas sumar -30 con -20, entonces de acuerdo con el truco vamos a suponer que los dos números son positivos, los sumamos 30+20=50, y luego al resultado le antecedemos el número menos, es decir -50. En resumen -30 + -20 = -50.

La suma puede realizarse con ambos números positivos, 10+3, con uno positivo y el otro negativo, 10 + -3, los dos negativos, -9 + -6. En el primer caso, se suma normalmente y el resultado es siempre positivo, en el segundo caso se comporta como una resta y el resultado puede ser tanto positivo o o negativo, y en el tercer caso se puede asumir como si los dos números fueran positivos para luego ponerle al resultado un menos.

El hecho de que existan números negativos en la suma nos inicia que todo es posible y no debemos tener paradigmas al respecto. La abundancia puede ser representada tanto en lo positivo como en lo negativo. Lo mismo que ocurre en la vida, ya que puedes tener muchas cualidades o defectos, aumentar tu prosperidad o el saldo en rojo del dinero, cuando pides mucho prestado o gastas en exceso a crédito.

La suma también puede ser negativa, y no debes preocuparte por ello, solo debes dejar fluir la operación, aplicar los trucos que e enseñamos, y practicar mucho. La mente se desarrolla con los ejercicios, la velocidad se gana con la repetición, la automatización se logra cuando estandarizas los procesos, la simplicidad y facilidad la visualizas cuando entiendes y prácticas. Es el momento de comenzar a crear el hábito de la suma, en todas sus versiones y dimensiones.

La suma es sinónimo de abundancia

Te has imaginado comer y comer de manera ilimitada y sin restricciones? Así se comporta la suma, porque es sinónimo de abundancia. Con la suma no tienes límites ni carencias, todo es ganancia e incremento. Dos pizzas + tres pizzas da como resultado cinco pizzas, totalmente deslumbrante para quienes les gusta este tipo de comidas. Pero igualmente lo puedes hacer con tu comida favorita, sea las hamburguesas o las sopas o las salchichas o el arroz, no importa.

La suma es sinónimo de abundancia y por ello siempre aumenta la cifra a menos que sumes cero, en donde el resultado de la suma es el mismo número, porque 1000 millones más cero es 1000 millones, dos más cero es dos, 137 + 0 = 137.

Cuando sumas un numero por uno, el resultado que obtienes es el numero siguiente, de tal forma que los mismos mil millones más uno da como resultado 1000 millones uno, o 9 + 1 = 10, y así para todos los números.

Cuando sumas un número con la cifra dos, si el número es par se mantiene el par y si es impar se mantiene impar. Por ejemplo, el número par 6 + 2 = 8 que es también par, y el número impar 7 + 2 = 9 que es igualmente impar.

Otro ejercicio que te puede ser muy útil para practicar la suma es sumar el mismo número, tres más tres, veinte mas veinte, doscientos mas doscientos, que sería como duplicar la cifra. Porque 3+3 es igual a 3*2 o el doble de 3 que es 6. Lo mismo ocurre con 20+20 o 20*2 o el doble de 20 que resulta 40. Para el caso de 200+200 o 200*2 o el doble de 200 el resultado es 400. Que fácil y divertido es duplicar un número o sumarlo dos veces.

La suma es sinónimo de abundancia, de incremento y de crecimiento, salvo que sumes por cero, en donde no agregas nada y mantienes la misma cifra inamovible. En todos los demás casos en que sumas números positivos, obtienes aumento de valor, crecimiento y abundancia.

Imagina en este momento algo que te guste mucho, tal vez las pelotas, los muñecos, los videojuegos, los libros, las películas, no importa el objeto. Ahora cierra los ojos y observa como la cantidad que tienes de tu objeto favorito crece hasta el infinito, primero de uno en uno, luego de dos en dos, hasta que se duplique la cantidad que inicialmente tenías. Por ejemplo, imagina que tienes 4 helados y ahora comenzaras a ver como los helados recen de uno en uno hasta llegar a 8 helados, que corresponden al doble de lo que tenias al comienzo.

Sumar por partes es la clave

Si quieres aprender a sumar lo mejor es que comiences a hacerlo por partes. De la misma manera como un problema se visualiza mejor cuando lo fraccionas en partes más manejables y fáciles de solucionar, la operación de la suma se hace más fácil cuando fraccionas las cifras en partes más manejables. Veamos la técnica con un ejemplo.

Supongamos que deseas sumar 258 con 372, 258 + 372, entonces aplicando la técnica de sumar por partes, podrías descomponer 258 en (200 + 50 + 8) y lo mismo puedes hacer con 372 en (300 + 70 + 2). El siguiente paso es sumar las cifras por tamaños iguales (200 +300 = 500), (50+70= 120), (8+2=10). Para finalizar reúnes las cifras resultantes de las sumas parciales (500+120+10= 630).  En conclusión sumar 258 + 372 da como resultado 630.

Siempre es mejor descomponer las cifras en sus partes más pequeñas, sin importar cuantas veces tengas que hacerlo. Para el ejemplo anterior, la suma de 50 con 70, la puedes fraccionar en 50 + 20 + 50, en donde puedes visualizar que el resultado es 50+50=100 y luego si adicionas 20 obtienes el resultado de 120.

Sumar por partes es la clave para que te resulte más fácil la operación. Entre más practiques más fácil aprenderás a sumar. Si tomas la suma como un juego logras divertirte y entretenerte en grande. Recuerda sumar por partes, tú mismo puedes fraccionar como lo desees y hasta que lo desees.
Por ejemplo, el numero 1378, lo puedes fraccionar en (1000 + 300 + 70 + 8), si quieres puedes a su vez fraccionar 300 en (100+100+100), y 70 en (50+20) o (20+20+20+10), tú mismo seleccionas la forma en que deseas fraccionar las cifras para que te quede más fácil sumar.

Ahora es el momento de practicar la suma y de practicar la forma en que vas a fraccionar los números. Selecciona un par de números y comienza ya mismo a sumar por partes, veras lo divertido que resulta.

La suma me gusta

No existe una operación matemática más fascinante y deseada como la suma. Porque tenemos una tendencia a acaparar, poseer, ganar, tener más y más, cada vez. Eso es precisamente la suma, una operación que te da la oportunidad de ganar, aumentar el tamaño, y hacer crecer lo que tienes.
Por ejemplo, tienes dos carros o muñecas, te diriges a la tienda y compras un carro o una muñeca nueva, el resultado es que ahora le sumas a dos el nuevo objeto, para obtener tres carros o muñecas. La operación es sencilla, 2 + 1 = 3.

La suma significa aumentar la secuencia en forma consecutiva y ascendente, en la cantidad deseada. Por ejemplo, si a dos le desea sumar uno, solo debes decir cual es el siguiente número que le sigue al dos, que es por supuesto el tres. Si en vez de uno deseas sumarle al dos la cantidad de tres, entonces seguirías la secuencia en tres oportunidades, a partir de 2, 3, 4 y 5, obteniendo el resultado de cinco.

Lo mismo ocurriría con cualquier otro número, como pudiera ser 105 y la suma de 8, en donde comenzarías en 105, luego seguirías la secuencia 106, 107,....., 113, que corresponde al octavo numero. Obteniendo que 105 + 8 = 113.

La suma me gusta porque me hace sentir bien. Si tengo $100 y le sumo $12 aumento mis ingresos a $112. Sí gano un sueldo de $520 y ahora me incrementan $15, el nuevo sueldo es de $520 + $15 = $535. Recuerda que para sumar comienzas en 520, y sigo la secuencia 15 veces, 521, 522, 523, hasta llegar a 535.

En los deportes se acostumbra siempre a sumar, porque se inicia en ceros y luego si se trata de fútbol, se comienzan a anotar o sumar goles, si es baloncesto se suman canasta que valen por dos o tres puntos, es decir se suma de a dos idea tres. Por ejemplo, 2 + 2 = 4, luego 4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8, ya si sucesivamente.

Muchas actividades de tu día se relacionan con la suma, como el ahorro, el tiempo, el kilometraje o millaje de tu carro, el crecimiento del pelo, las calorías que ganas cada vez que comes, el consumo del agua o de la energía, y cientos de cosas más. Se te ocurre en este momento alguna aplicación de la suma?

Sumar es adicionar, es crecer, mejorar y aumentar, atributos que por lo general son apreciados, siempre que no caigas en la gula ya el desenfreno te invitamos al que practiques todos los días con la suma, comenzando con operaciones pequeñas de un dígito, como 2+8 o 5+6, luego con sumas de dos dígitos, como 24+31 o 75+23, y así jefes seguir creciendo o sumando dígitos a tus operaciones. Veras que divertido ya fácil es.

Raíces cuadradas Leccion 6

Grandes genios de las matemáticas y de la raíz cuadrada

Si revisas a lo largo de la historia todos los grandes matemáticos y científicos han tenido que trabajar en algún momento con la raíz cuadrada, en sus desarrollos y estudios, descubrimientos y análisis. Pero dentro de ellos queremos en esta oportunidad destacar a John Wallis, Alexander Craig, Bhaskara y Cardano.

Sobre Jhon Wallis se puede mencionar que este matemático es de la época de Newton, tuvo influencia en él y en sus desarrollos, a pesar de ser mucho menos conocido. Respecto a su relación con la raíz cuadrada, se cuenta que no dormía bien y se despertaba frecuentemente en las noches, y que su pasatiempo favorito era calcular mentalmente raíces cuadradas, llegando en alguna oportunidad a realizar el cálculo con números de hasta cuarenta cifras, lo cual era bastante significativo, y una real proeza para su tiempo y para la era actual.

Hablar de Alexander Craig es destacar a un genio de los cálculos mentales, cuya práctica inició muy reciente cuando tan solo tenía los trece años, y luego realizaba proezas de cálculos mentales en reuniones privadas y conferencias, con una velocidad prodigiosa. Su memoria era realmente superior a las personas que le rodeaban, llegando a grabar en su mente para luego recitar de corrido el número pi con sus mil decimales. De la misma forma podía dar el resultado de raíces cuadradas de 12 números, llegando a los diez años a dar la respuesta de esta cantidad de cifras en solo treinta segundos.

No se podía quedar la India sin su genio Bhaskara que en siglo 12 hablaba con propiedad de la raíz cuadrada, la inclusión de los números negativos, la imposibilidad de realizar raíces cuadradas con dichos números, los resultados dobles de las raíces positivas que al elevar al cuadrado dan la posibilidad de que coexistan tanto los números positivos como los negativos, y uno que otro estudio y tratado sobre este tema tan apasionante y pr5ofundo denominado raíces cuadradas.

Tampoco se debe dejar de mencionar a Cardano quien en el siglo 16 ya demostraba porqué si eran permitidas las raíces cuadradas de números negativos, incluyendo el concepto de los imaginarios, los números complejos, la descomposición de los números y las fórmulas matemáticas en partes, en donde el número negativo era protagonista, a pesar de que en la mente no se pudiera entender la existencia de una raíz cuadrada negativa, pero si tuviera cabida en el imaginario.

Las raíces cuadradas se han convertido en un pasatiempo y en un reto mental no solo para los matemáticos famosos sino para principiantes, quienes encuentran una entretenida y fructífera forma de desarrollar el pensamiento, el concepto, la agilidad mental, y hasta el crecimiento de la imaginación.

Raíces cuadradas Leccion 5

El origen de la raíz cuadrada

Si dijeras que los egipcios fueron unas de las culturas que primero utilizaron la raíz cuadrada, te encontrarías en lo cierto, porque se han encontrado vestigios de la raíz cuadrada en épocas que se remontan a casi dos mil años antes de Cristo, más explícitamente en los 1.650 a.c.

Se cree que el símbolo √ que identifica a la raíz cuadrada no es más que la misma r diseñada de una manera más elegante y bonita, para añadirle atractivo e identidad. Lo que se diría en términos de publicista el darle una nueva imagen a la raíz cuadrada, más impactante a nivel comercial, para facilitar su difusión.

La raíz cuadrada también se relaciona con las diagonales de los cuadrados, la hipotenusa de un triángulo, la misma circunferencia, en donde está presente la raíz cuadrada en sus ecuaciones. Por ejemplo, en el triángulo recto la fórmula de Pitágoras corresponde a la elevación de cuadrados de los lados que al sumarse permite encontrar el cuadrado de la hipotenusa. Recordando que la manera de despejar un cuadrado es con la raíz cuadrada, o dicho de otra forma para resolver (W elevado al cuadrado = 9) es lo mismo que (W = √9) obteniendo como respuesta que (W=3).

Se podría decir que etimológicamente la raíz se relaciona con el origen, el principio, lo que le da cimiento a las plantas, lo que la aferra al piso o al suelo. En el caso de las matemáticas la raíz de un número es otro número que le da origen. Por ejemplo, la raíz de 64 se origina en el número 8, porque 8 por 8 da 64, y así sucesivamente.

Debido a que las raíces cuadradas se originan en el cuadrado de un número, entonces ningún resultado negativo es viable, ya que cualquier número elevado al cuadrado da un número positivo. De acuerdo con lo anterior, no se concibe la raíz cuadrada de -9 o de – 25. Por el contrario, la respuesta de una raíz cuadrada positiva, si puede tener dos resultados, uno negativo y otro positivo de igual valor, para el mismo ejemplo de la raíz de 9, sirven como resultado el 3 y el -3, porque -3 por -3 da también 9 positivo.

Ya luego científicos como Blaise Pascal y Leibniz, se consideran los pioneros de los computadores con la creación de máquinas que podían realizar las operaciones matemáticas básicas como sumar o restar, multiplicar o dividir, y por supuesto sacar las raíces cuadradas de los números. Con lo cual se agilizaban mucho las operaciones y la solución de ecuaciones y de problemas. 

La raíz cuadrada nace por la necesidad de resolver operaciones matemáticas de mayor envergadura, en donde se involucraban números elevados al cuadrado, en donde para despejar la variable incógnita se hacía necesario eliminar la potencia con la raíz cuadrada. Hoy en día se sigue utilizando con la ayuda de las calculadoras y los computadores.

Raíces cuadradas Leccion 4

La raíz cuadrada expresada como una potencia.

Sin duda cuando se estudia matemáticas encuentras que la potencia es más fácil de entender que la raíz cuadrada. Por ello, existe una forma de expresar la raíz cuadrada en forma de potencia para que te resulten más entendibles los cálculos y usos.

El concepto consiste en lo siguiente. La raíz cuadrada de un número es el mismo número elevado a la potencia ½, es decir que la raíz cuadrada de 9 es el nueve elevado a la un medio., y así sucesivamente con cualquier otro número. Porque la raíz cuadrada de 100 es el mismo número 100 elevado a la potencia ½.

¿Qué puede pasar con la raíz cúbica? Lo mismo, pero en lugar de elevar el número a la potencia ½ lo elevas a la potencia 1/3. 

Veamos ahora para qué nos sirve transformar la raíz cuadrada en forma de potencia. La razón de hacerlo es que se facilita resolver y simplificar las ecuaciones ya que por ejemplo, es más fácil multiplicar un número Z elevado a la ½ por otro número z elevado a la 1/3, que hacerlo con la raíz cuadrada de Z multiplicada por la raíz cúbica de Z. En el primer caso, Z a la ½ por Z a la 1/3, se resuelve sumando los exponentes, ½ + 1/3 = 5/6, obteniendo el resultado de Z elevada a la 5/6. 

Es interesante ver como los problemas o las situaciones de la vida y de las matemáticas se pueden resolver cuando cambias la perspectiva, como es el caso de la raíz cuadrada en donde si la vez como la potencia, tu perspectiva se amplia y se facilitan tanto las operaciones matemáticas como tu forma de ver esta operación, que parece más compleja de lo que es.

En las matemáticas ocurre que las operaciones siempre van en pareja en donde los opuestos siempre están presentes. Es el caso de la suma y la resta, la multiplicación y la división, la raíz cuadrada y la potenciación. Por ello, la resta se puede ver como la suma con un número negativo, la división como la multiplicación de quebrados, y la raíz cuadrada como la elevación a la potencia ½.

Ahora ya cuentas con la herramienta que te permitirá resolver operaciones matemáticas más complejas en donde esté presente la raíz cuadrada, por ejemplo (√30 por √30) es lo mismo que (30 a la ½) por (30 a la ½), que da como resultado 30 a la (1/2 +1/2) o simplemente 30.

Cuando expresas la raíz cuadrada en forma de potencia, acercas el conocimiento complejo a lo simple y sencillo, para que se pueda entender la matemática con sencillez y simpleza. Te invitamos a que encuentres en las operaciones la manera más simple y sencilla de resolver los problemas que se te presenten. Porque siempre existe una manera más sencilla de ver las cosas y solo necesitas encontrarla, como el caso de la raíz cuadrada convertida en potencia.

Raíces cuadradas Leccion 3

Para qué sirve la raíz cuadrada

El origen de la raíz cuadrada surge desde la época de los griegos y de Pitágoras, cuando intentaban resolver las ecuaciones relacionadas con los triángulos. Como podrás recordar en el triángulo de Pitágoras, se asume como axioma que en un triángulo recto, el cuadrado de la suma de los lados es igual al cuadrado de la hipotenusa como se ve en la siguiente gráfica. A2 + B2 = C2
De lo anterior se deduce que en cualquier fórmula en donde exista la potenciación o la elevación de algún número al cuadrado, la raíz puede ser parte de la solución, así que debes tenerla muy presente.

Por ejemplo, existen funciones que utilizan los cuadrados en las matemáticas o en la física, como el cálculo del área en los círculos que es πr2, en donde para resolver la ecuación y encontrar el valor del radio, necesitas de la raíz cuadrada.  Por ejemplo, si te dicen que el área de un círculo es 120 y que debes averiguar el radio del mismo, este dato resultará de sacar la raíz de 120 dividido por π.¡En esta fórmula A2 + B2 = C2, cuando deseas despegar alguna letra por ejemplo la A, entonces aparece la raíz cuadrada para resolver el problema: √C2 – B2 = A, expresado como la raíz de la resta del cuadrado de C2 menos el cuadrado de B2 te permite obtener el valor del lado A en el triángulo de Pitágoras.

Igual ocurriría en un problema en donde te dijeran que necesitas saber qué medidas debe tener de largo y de ancho un cuarto que es cuadrado para que el área sea de 25 metros cuadrados,  en cuyo caso la solución del problema se reduciría a sacar la raíz cuadrada de 25, para obtener una medida de 5 metros por cada lado.

Por ello los arquitectos y los diseñadores, y no solo los matemáticos o físicos, utilizan la raíz cuadrada como una herramienta para resolver las necesidades de información en donde se involucran los espacios y los metros cuadrados, las fórmulas en donde existen la potenciación o los valores elevados al cuadrado.

Sin duda la raíz cuadrada es el inverso del número elevado al cuadrado o a la dos, pero también existen las raíces cúbicas en donde es el inverso de un número elevado al cubo o a la potencia tres, y así sucesivamente con el cuatro, cinco, seis, hasta la n, potencia o raíz a la n.

En resumen la raíz sirve para que puedas entender y resolver una ecuación o problema en donde se presenta la potenciación, la elevación de un número o variable a la n potencia, y necesitas en raíz de esa n potencia. Para el caso de la raíz cuadrada, la potencia es a la dos. Por ejemplo, si tienes que Z a la 2 es 36, entonces la √36 te dará el valor de Z que en este caso será de seis algún punto despejar para encontrar el valor de la variable

Raíces cuadradas Lección 2

Siguiendo con los métodos manuales de realizar la operación de la raíz cuadrada

Recapitulando sobre la raíz cuadrada podemos decirte que por supuesto existe la calculadora para que te arroje el resultado que estás deseando, y que si se trata de un valor menor como 36 o 49, puedes encontrar fácilmente el resultado de sus respectivas raíces cuadradas, cuando piensas en un número que multiplicado por sí mismo, permita obtener 36 o 49, que para el caso de estos ejemplos corresponden a 6 y 7, ya que 6 por 6 da como resultado 36, y 7 por 7 permite obtener 49.

Pero lo más interesante es entender el proceso que se realiza para resolver en forma manual una raíz cuadrada cualquiera sin la ayuda de la calculadora. Como siempre, la mejor forma de aprender es comenzar por ejemplos sencillos y luego ir paulatinamente aumentando la dificultad.

Supongamos que te interesa averiguar la raíz cuadrada de 121, la cual a priori podrías descubrir que corresponde a 11, porque 11 multiplicado por 11 te da como resultado los 121 que estabas buscando. Pero ¿Cuál es el método manual de llegar al mismo resultado?

Vamos a verlo en forma gráfica y luego iremos explicando el proceso:

Raíz cuadrada de       121      =        
                                   1.21     =          1
                                   -1
                                   0.21     =          21 x 1 = 21
                                     -21
                                      00
            Raíz cuadrada 121     =          11

a)      Primero separas el número 121 en 1.21
b)      Luego buscas un número que multiplicado por sí mismo de la primera cifra de 1 que es por supuesto 1
c)      Si 1 por 1 da 1 y este valor lo restas de 1, obtienes 0.
d)     Ahora bajas los dos números siguientes que corresponden a 21 para obtener 0.21
e)      El resultado que llevabas de 1 lo multiplicas por 2 para obtener 2 y ahora necesitas encontrar un número Z que multiplicado por 2Z se encuentre cercano al cociente 21, que es 1.
f)       La raíz cuadrada de 121 es el primer 1 junto con el siguiente 1, dando 11

Veamos un nuevo ejemplo, de la raíz cuadrada, en esta oportunidad del número 144.

Raíz cuadrada de       144                  =
                                   1.44                 =          12
                                   1.44                 =          1
                                   -1                                1x1
                                   0.44                            22 x 2 = 44
                                     -44
                                      00

a)      Primero separas el número 144 en 1.44
b)      Luego buscas un número que multiplicado por sí mismo de la primera cifra de 1 que es por supuesto 1
c)      Si 1 por 1 da 1 y este valor lo restas de 1, obtienes 0.
d)     Ahora bajas los dos números siguientes que corresponden a 44 para obtener 0.44
e)      El resultado que llevabas de 1 lo multiplicas por 2 para obtener 2 y ahora necesitas encontrar un número Z que multiplicado por 2Z se encuentre cercano al cociente 44, que es 2.
f)       La raíz cuadrada de 144 es el primer 1 junto con el siguiente 2, dando 12
Sigue practicando la raíz cuadrada con otros números como 484, ¿Cuál es la raíz cuadrada de 484?

Realiza el proceso y verás lo divertido que resulta.

Raíces cuadradas Lección 1

Cómo realizar la raíz cuadrada

La raíz cuadrada siempre ha sido considerada como una de las operaciones más complejas de las matemáticas, pero la realidad puede ser otra cuando aprendes a quererla, conoces sus trucos, y practicas mucho.

Debemos comenzar diciendo que la raíz cuadrada es el inverso de la potenciación, de tal forma que si 2 elevado a la 2 es 4, entonces la raíz cuadrada de 4 es por supuesto dos. Puedes ahora mismo retar tu mente haciendo raíces cuadrada sencillas de dos dígitos. Por ejemplo cual es la raíz cuadrada de 25 o de 81, el resultado es 5 y 9, porque 5 por 5 es igual a 25, a la vez que 9 por 9 da como resultado 81.

Por supuesto que con las calculadoras resultaría muy fácil obtener el resultado de cualquier raíz cuadrada, pero la idea es que aprendas a hacerlo manualmente para que tu mente se enriquezca de una operación que después será muy utilizada en las materias de pre cálculo o de cálculo, en el colegio y en los primeros años de universidad.

Cuando el número al que le vamos a sacar la raíz, no permite encontrar un número que elevado por si mismo obtenga este valor, como es el caso de la raíz cuadrada de 100 en la que obtienes que el resultado es exactamente 10, ya que 10 por 10 da 100, entonces debes aprender un poco más del proceso de la raíz cuadrada. Supongamos que deseamos sacar la raíz cuadrada de 80, y empezamos a pensar qué número podría ser, pero no encontramos ninguno que dé una respuesta exacta, ya que 9 por 9 se pasa a 81, mientras que 8 por 8 se queda corto en 64. Concluimos que debe ser un número que se encuentre entre 8 y 9.

Para el caso del ejemplo de la raíz cuadrada de 80, tan pronto tomamos el numero de 8 y lo elevamos al cuadrado el resultado obtenido es 64, que si lo restamos de 80, quedarían pendientes 16. Ahora el proceso para encontrar los decimales que acompañarán al 8 requiere un poco más de observación y de procedimiento.

Al número de 16 que teníamos como cociente le bajamos una pareja de ceros, obteniendo la cifra de 1,600. Hasta el momento llevamos que la raíz cuadrada de 80 es 8 y un decimal que vamos a encontrar de la siguiente forma. El número 8 lo multiplicamos por 2 para obtener 16 y le adicionamos un número z, es decir 16Z que multiplicado por el mismo Z se acerque al número que teníamos como cociente de 1,600. Esta operación se realiza por ensayo y error, obteniendo que 169 por 9 da el valor de 1,521, el cual es muy cercano a 1,600. El resultado de esta operación nos indica que la raíz cuadrada de 80 es 8,9 por el momento, y así podríamos seguir hasta encontrar el siguiente decimal.

No te preocupes si todavía te parece un poco compleja la operación de la raíz cuadrada, porque en este punto de encuentro solo deseamos que entiendas uno de los métodos manuales de realizar la operación matemática. Recuerda que para sacar la raíz cuadrada de 81 encontramos que el valor es 9, ya que 9 por 9 da exactamente 81, pero para encontrar la raíz cuadrada de 80, el resultado que más se acercó fue de 8,9.

Aprendiendo a multiplicar Lección 3

La multiplicación es básicamente, una suma abreviada. Consta de dos números: el "multiplicando" y el "multiplicador". El multiplicando es el número que se va sumar a si mismo tantas veces como lo indique el multiplicador.

Es decir, si tenemos la multiplicación 2x6, esto significa que el número 2 será sumado a si mismo un total de seis veces. Lo cual se traduce en lo siguiente: 2+2+2+2+2+2, que nos da un total de 12.
Es decir, si no se comprende el concepto de suma o adición, no será posible comprender el concepto de multiplicación, porque acabamos de comprobar que están íntimamente ligados. Si decimos dos por tres (2x3) es lo mismo que decir, dos mas dos mas dos (2+2+2) o bien tres mas tres (3+3), es decir, en todo cálculo de multiplicación esta implícita la suma. Lo mismo ocurre con la resta, ya que esta es la operación inversa de la suma. Análogamente al ejemplo antedicho, decir menos dos por tres (-2x3) es como decir (-2-2-2). O sea que una multiplicación que incluye un número negativo implica siempre una resta. Y si en la multiplicación los dos términos son negativos (-2x-3) estos símbolos se cancelan y queda nuevamente una suma, por esto, este último calculo es exactamente el mismo que (2x3).

Se debe practicar periódicamente estas operaciones matemáticas para adquirir más eficiencia y recordar todos los pasos necesarios y no olvidarlos. En los ejercicios que se realizan se debe hacer evolucionar los procedimientos de conteo a los de cálculo e ir aumentando el tamaño de los números.

Aprendiendo a multiplicar Lección 2

Las principales conocimientos sobre operaciones matemáticas que una persona debe conocer para poder aprender a multiplicar son básicos: aprender a sumar. Al haber aprendido previamente el lenguaje numérico y conceptual de las cantidades y a sumar por lo menos dos cifras, mediante aquel conocimiento ya adquirido de la suma de cantidades, se debe usar como premisa mayor dicha actividad, pretendiendo crear una imagen de relación, para que el conocimiento antiguo funcione como puente para la adquisición de uno nuevo, entonces podemos decir que “2x5” es equivalente a escribir “2+2+2+2+2” porque el signo de la multiplicación, la letra “x” representa esa operación matemática. Una vez establecida la relación de estos conocimientos, debemos quitar el objeto estimulante conformado por el conocimiento antiguo para que obtengamos más independencia la practica de la multiplicación.

El otro concepto que debe comprender es el de cantidad: es decir, si se le pide la suma de 2+2, primero se debe comprender qué cantidad es 2, para poder entender que al tener dos unidades de determinada cosa, a las cuales se suman otras dos unidades nos dará un resultado de cuatro unidades.

Aprendiendo a multiplicar Lección 1

En primer lugar para comenzar el proceso de aprendizaje se debe estar predispuesto por medio de estímulos del ambiente y a partir de allí, conocer las cantidades, el lenguaje numérico para poder establecer la relación que requiere el aprendizaje, conocimiento conceptual y practico de cantidades representadas en números, suma de cantidades y todo debe conformar un solido escalón para poder volcar sobre el mismo el conocimiento conceptual y practico de la multiplicación: todo esto es necesario debido a que la multiplicación debe aprenderse en relación con otro conocimiento que requiere para practicarla, es una dimensión de la disciplina que comienza a mostrar su correlatividad, que le es tan característica a lo largo de su extensión disciplinaria.

Primeramente se debe conocer los números y saber contar, conocer qué número es más grande, cuál es menor, que existen números positivos y negativos (esto no es indispensable), se debe saber también sumar y restar, pero lo más importante que se debe conocer es qué es una multiplicación: ya que en definitiva la multiplicación es la suma de los números, con ella hacemos que determinadas operaciones nos resulten más fáciles o más cortas, por ejemplo si multiplicamos dos por tres quiere decir que tenemos dos grupos que están integrados por tres objetos cada uno o bien a la inversa tres grupos que contienen dos objetos cada uno y si sumamos dichos objetos uno por uno obtendremos el mismo resultado que si multiplicamos la cantidad de objetos contenidos en cada grupo por la cantidad de grupos que contienen dichos objetos. No se puede enseñar a multiplicar sin explicar qué es o de donde proviene esa operación.

Ecuaciones de segundo grado

Hablábamos  en artículos anteriores, acerca de lo que son las ecuaciones en el álgebra y los diferentes tipos de ecuaciones que se pueden presentar.

Mencionábamos también, que al ser las ecuaciones una igualdad entre dos expresiones de tipo algebraico, la finalidad de esta es hallar el valor de la o las incógnitas.

En artículos anteriores hemos hablado sobre los diferentes tipos o clases de ecuaciones existen, por ejemplo las de primer grado, que reciben su nombre debido a que su exponencial es igual a uno.
E el post de hoy, hablaremos sobre otro tipo de ecuaciones, sobre las ecuaciones de segundo grado o también llamadas cuadráticas.

Ecuaciones de segundo grado, introducción:

Se  llaman o se  conocen como ecuaciones de segundo grado o de tipo cuadrático,  a aquellas ecuaciones que presentan una potencia o un exponente elevado al cuadrado o elevado en 2.

 Veamos un ejemplo: ax2 + bx + c= 0. Esta es la forma actual en la que se conocen este tipo de ecuaciones donde las constantes son a,b y c, las variables corresponden a X y el exponente es igual a 2.

A diferencia de las ecuaciones de primer grado, que se reconocen porque el exponente no se escribe, en este caso también se reconocen de forma fácil las ecuaciones de segundo grado al notar el exponente.

Un dato que se debe tener en cuenta, es que al momento de querer representar en la recta una ecuación de segundo grado, esta siempre tendrá la forma gráfica de una parábola.

Las parábolas, son un espacio geométrico que se crea a partir de los puntos ubicados en el plano cartesiano y que se encuentran equidistantes dentro del mismo.

Dentro de los datos que se tienen de la historia de este tipo de ecuaciones de segundo grado,  los datos históricos no son precisos, debido a que datan de siglos desde antes de la aparición de Jesucristo.

Se conocen, algunos datos o papiros en los  que las civilizaciones de la antigua Babilonia, utilizaron este tipo de algoritmos y procedimientos algebraicos donde se planteaban soluciones a problemas muy cotidianos de este tipo de civilizaciones.

Entre lo que se ha encontrado de estas antiguas civilizaciones han sido vestigios de igualdades entre elementos o símbolos.

Siglos más tarde, en Grecia,  se estudiaron más estos tipos de algoritmos y símbolos en formas de igualdad, por lo que se conoce estas fueron las primeras ecuaciones que la humanidad planteó. 

Gracias a al tiempo y a la dedicación de pensadores de las matemáticas, hoy contamos con los sistemas de ecuaciones y sus diferentes reglas de uso.

Las ecuaciones de segundo grado, al igual que muchas otras ecuaciones, tienen sus formas particulares de ser solucionadas, en este caso se pueden empelar fórmulas o derivando componentes de la misma, sacados de las raíces cuadradas, las cuales se les conoce como discriminantes. 

Lo que hace la aplicación de las formulas como método de solución o de despeje de las ecuaciones, es permitir hallar o determinar las raíces cuadradas que conforman la ecuación.

Gracias a las raíces o al dato de conocer las raíces, es posible entonces conocer o sustraer el valor o la equivalencia de la discriminante dentro de las ecuaciones de segundo grado.

Las discriminantes tienen valores tanto positivos como negativos, y se ven representadas dentro del plano cartesiano, de esta forma es posible detectar los valores de las discriminantes y posteriormente su graficación.

Tipos de ecuaciones de segundo grado:

Las ecuaciones de segundo grado, también se pueden clasificar:

-         Ecuación de segundo grado completa: Esta clase de ecuación de segundo grado, tiene más relación con los aspectos gráficos, es decir lo que busca es una representación dentro del plano, esta imagen o gráfica tiene aspecto canónico y permite tres aspectos para su solución.

1.     dos números reales y diferentes entre sí.
2.     dos números reales y que sean iguales.
3.     dos números complejos, conjugados por la variable  según el valor de la discriminante.

Ejemplo: 

D= b2 – 4ac

-         Ecuación de segundo grado incompleta pura: este tipo de ecuación se puede presentar de dos formas: 1. Cuando las constantes de a y c no son iguales a cero (0). La 2. Cuando la constante a nunca es igual a cero, esta última no presenta mucho, pero sucede a veces que se de esta forma de ecuación de segundo grado incompleta.

Ejemplo: a y c son iguales a cero  ax2 + c = 0
a no es igual a cero  ax2 = 0

-         Ecuaciones de segundo grado Incompleta Mixta: Este tipo de ecuaciones se presentan cuando las constantes a y b no son iguales a cero (0). Por esto por medio del método de factorización se remplazan unos valores, en este caso X = -1.

Ejemplo: ax2 + b2 = 0

Ya vimos los tipos o la clasificación de las ecuaciones de segundo grado, es momento entonces de hablar acerca de las formas o métodos en los que este tipo de ecuación puede resolverse.

-         Método de factorización: El método de factorización se logra por medio de la aplicabilidad de tres pasos:

1.     Igualar la ecuación a cero.
2.     Se reemplaza el cero por valores dentro de la ecuación
3.     Se organiza la ecuación y se iguala a cero, de esta forma se despeja de manera más sencilla.

-         Método  raíz cuadrada: Este tipo de método, pretende resolver ecuaciones de segundo grado, aplicando una ley de las raíces cuadradas, esta dice: Toda ecuación que tenga X2, debe reemplazarse por el siguiente enunciado: x = +/- la raíz cuadrada de R, donde R es cualquier número real, de esta forma esta ley de raíz, permite despejar ecuaciones de forma sencilla también.

-         Método complementación del cuadrado: Este es uno de los métodos más complicados o mejor, complejos dentro de todos los demás.

Este consiste en que para despejar las ecuaciones, es necesario hallar el tercer valor de un trinomio, que pertenece a un cuadrado perfecto.

Cuando este valor es hallado lo que se consigue a cambio es una ecuación de tipo equivalente que solo requiere de ser reemplazada y de esta forma se consigue despejar la ecuación de segundo grado.

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones siempre han sido uno de los problemas y los dolores de cabeza de muchos estudiantes.

Sin embargo cuando se conocen bien las terminologías de los elementos que componen las ecuaciones es mucho más sencillo ponerlas en práctica.

En el post de hoy, siguiendo con la temática de las ecuaciones y de los aspectos de la matemática, seguiremos con otra de las tipologías de las ecuaciones, las ecuaciones lineales.
Ecuaciones lineales, Introducción: 

Recordemos que las ecuaciones, son las igualdades que se dan entre dos expresiones llamadas miembros y que se elevan a alguna potencia, dependiendo de esa potencia o de ese número exponencial, es que clasifican las ecuaciones.

Las ecuaciones lineales o también llamadas de primer grado, son aquellas que se encuentran elevadas a una sola potencia a un solo exponencial que es igual a uno (1).

Las ecuaciones están formadas por varios elementos que la determinan o clasifican como tal, es decir lo primero que se debe tener en cuenta para identificar una ecuación lineal, es que tenga como exponente el número uno (1).

Los otros aspectos, se catalogan entre las constantes, es decir los elementos que no cambian su valor dentro de la ecuación y a lo largo del despeje, las variables, aquellas que permiten ser u ocupar un valor cualquiera dentro de las ecuaciones.

No olvidemos los números, sobre todo enteros, aquí es decir en las ecuaciones no caben otro tipo de números y no olvidemos la incógnita, que a fin de cuentas es la razón de ser de las ecuaciones.

Las ecuaciones lineales, admiten algún tipo de  representaciones, por ello mencionaremos algunas de estas:

-         Ecuaciones lineales en el espacio n-dimensional: En este tipo de representación, se tienen en cuenta aquellos aspectos que tienen más que ver con la geometría y las interpretaciones de esta.

De este modo las funciones de ecuaciones lineales, representan una superficie, considerada como hiperplana con n -1.

-         Sistemas de ecuaciones lineales: Este tipo de sistema, consiste en tener varias ecuaciones lineales tratadas bajo un método matricial, es decir que se comparan dos sistemas de ecuaciones lineales y se admiten como equivalentes, cuando tienen el mismo resultado o muchas similitudes.

-         Sistemas de Linealidad: Se dice que las ecuaciones lineales, cumplen con la condición de la linealidad, si cumplen con una proposición, esta es: f (x+y) = f(x) + f(y) ---- f (ax) = af (x)

Dentro de las ecuaciones lineales, encontramos algo de historia, hacia el año de 1700 a.c (aproximadamente) se comienza a experimentar con los símbolos y con la resolución de  ecuaciones, este periodo, se le conoce como algebra geométrica, empleada por los griegos, ellos permitieron resolver ecuaciones por medio del uso de las figuras que la geometría nos ofrece.

Con Descartes, las ecuaciones evolucionan, y de esta forma se perfila como una ciencia que estudia los cálculos simbólicos y las ecuaciones en general.

Después de que Descartes, ayuda a consolidar el término y la ciencia de las ecuaciones, aparece Euler, quien define las ecuaciones como un sistema que abarca varias expresiones, entre ellas fraccionarios, números racionales entre otros.

La evolución de las ecuaciones y de las ecuaciones lineales, tardó al menos unos 3000 años en desarrollarse como tal, desde los principios de ella en Egipto y en la antigua Babilonia, donde las civilizaciones dejaron un sin números de problemas resueltos, entre ellos muchos que contenían aspectos de las ecuaciones.

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones:

Habíamos nombrado anteriormente, los sistemas de ecuaciones lineales, decíamos que un sistema de ecuaciones lineales, emplea varias ecuaciones de este tipo y las acomoda de tal forma que queden paralelas una encima de otra, de esta forma, dentro del sistema se hallan incógnitas, casi siempre dos.

Existen varios tipos de sistemas de ecuaciones lineales, veamos:

-         Sistema incompatible: Este tipo de sistemas son simplemente aquellos que son imposibles de solucionar, no importa el procedimiento, no importa las formas que se intenten para hacerlo, es imposible de resolver.

-         Sistemas compatibles: Los compatibles, son aquellos que si tienen solución, y este a su vez se divide en dos, los compatibles determinados y los compatibles indeterminados.

-         Los sistemas compatibles indeterminados, son aquellos que abarcan un sin fin de números infinitos que forman una variedad continua.

Por otro lado, los sistemas compatibles determinados, son aquellos que tienen un número finito de soluciones.

Dentro de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones lineales, tienen métodos de solución, estos son:

-         Métodos analíticos: Los métodos de tipo analítico solo se emplean para las ecuaciones de tipo lineal y restringido para las de tipo no lineal.

-         Métodos numéricos: Este tipo de método, aplica siempre para algoritmos  numéricos que permiten calcular algunos elementos para calcular un sistema de ecuaciones.

Recordemos que los sistemas de ecuaciones abarcan muchas ecuaciones de tipo lineal y que usualmente son organizadas mediante el tratamiento matricial, es decir el tratamiento de la matriz, que consiste en convertir estas ecuaciones en equivalentes.

-         Métodos gráficos: Este tipo de métodos como su nombre lo dice, hacen alusión a formas más didácticas y prácticas de demostración, sin embargo están restringidas únicamente para dos o tres ecuaciones.

Muchas ecuaciones tienen las siguientes categorías o características para ser determinadas como ecuaciones de tipo lineal: 

-         Sistemas que representen rectas y curvas, pero que en un momento dado se unen en algún punto.

-         Sistemas que muchas veces tienen resultados falsos y cuya gráfica arroja rectas o curvas que nunca se unen entre sí.

-         Cuando un sistema arroja soluciones finitas, por lo tanto las representaciones gráficas de esto son puntos puestos en todas partes del plano.

-         Cuando un sistema arroja resultados de ecuaciones equivalentes.
-         Sistemas en donde se presenta una redundancia, por tanto se descarta una de las ecuaciones o conjunto de ecuaciones.

Estos han sido algunos aspectos de las ecuaciones lineales o de primer grado, más importantes dentro de lo que abarca el tema.

Recuerden que el sistema de ecuaciones lineales solo abarca o emplea las ecuaciones, pero no son como tal.

Ecuaciones de primer grado

Las matemáticas siempre han sido una de las ciencias más importantes dentro de la vida del hombre. Esta siempre ha influenciado los aspectos de la evolución y el avance de todas aquellas cosas que han facilitado la vida del hombre.

En el post de hoy, les hablaré sobre uno de esos aspectos de las matemáticas que más se llegan a odiar en un salón de clases. Les hablaré sobre les ecuaciones de primer  grado.

Ecuaciones de primer grado, Introducción: 

Antes de abordar las ecuaciones de primer grado, hablaremos primero sobre lo que son las ecuaciones.

Las ecuaciones dentro de las matemáticas, representan igualdades entre dos expresiones de tipo algebraico que se denominan miembros.

Las ecuaciones están formadas por elementos que portan datos y por aquellos que no, los que no tienen datos se les conoce o se le conoce como incógnita, y es esta última la que normalmente debe hallarse.

Los elementos que conforman las ecuaciones son: números, variables, exponenciales, constantes, entre otros.

Realicemos un repaso por lo que son estos elementos:

-         Los números: Los números recordemos, son un concepto o símbolo que expresa una cantidad. Por convencionalismo social, hemos aceptado el símbolo y la representación de la cantidad con ellos.

-         Variables: Las variables son espacios que se dejan o que permiten ocupar valores dependiendo de las necesidades, dentro de las ecuaciones, las variables tienen valores desconocidos que al ir resolviendo toman un valor determinado.

-         Exponenciales: Son también las llamadas potencias, que sirven para indicar a las personas cuantas veces se multiplica el número o la variable que la lleva.

-         Constantes: Las contantes dentro de las ecuaciones y las ecuaciones de primer grado, con valores que nunca cambian a medida que se desarrollan.

En las ecuaciones en general, incluyendo las ecuaciones de primer grado, las igualdades, es decir los miembros tienen una incógnita para ser hallada, normalmente esa incógnita siempre está representada por una letra

Observemos un ejemplo: 

2x + 3= 6x – 8

Este es un pequeño ejemplo de lo que es una ecuación, como pueden observar, hay una igualdad que separa dos expresiones llamadas miembros, tenemos incógnita y variables.

Las ecuaciones tienen una gran importancia dentro de las matemáticas, sobre todo en el álgebra, se emplean principalmente para enunciar leyes y relaciones entre variables.

Para la aplicabilidad de la física y otras ciencias que dependen de cálculos de este tipo, es decir de hallar incógnitas, es esencial y es sumamente importante.

Existen varios tipos de ecuaciones:

-         Dentro de las ecuaciones denominadas algebraicas tenemos:
-         Las ecuaciones polinómicas
-         Las ecuaciones de primer grado
-         Las ecuaciones de segundo grado
-         Dentro de las ecuaciones trascendentes tenemos:
-         Las ecuaciones diofánticas
-         Dentro de las ecuaciones diferenciales tenemos:
-         Ecuaciones ordinarias
-         En derivadas parciales
-         Ecuaciones integrales

Ecuaciones de primer grado y tipos de ecuaciones:

Las ecuaciones de primer grado o lineales, suponen una igualdad entre dos expresiones que tienen una o más variables que tienen una potenciación elevada a la primera, es decir su exponencial es uno (1).

Para hacerlo más simple, las ecuaciones de primer grado, involucran operaciones simples de suma y resta y cuyas variables que intervienen dentro de la ecuación están elevadas o tienen una potencia de 1.

Recordemos que cuando el exponente no se coloca, significa que es igual a uno (1), de esta forma cuando se tiene una ecuación con estas características se deriva que se trata de una ecuación de primer grado.

Dentro de las ecuaciones de primer grado, también existen tipologías o clases de ecuaciones lineales dependiendo de algunas características:

-         Uno de los tipos en los que se representan las variables de primer grado son en dos variables, representadas en el plano cartesiano.

Un ejemplo de ellas es: y = z.x + b En esta ecuación de primer grado, Z representa la pendiente, recuerden que estamos hablando del plano, y b representa el punto en donde se corta el eje de Y.

Ejemplo: 5x + 2y = 6
9x -2 = 3x + 5

-         Otro tipo de ecuación es la general: Una ecuación de tipo general, es aquella en donde al resolverla su resultado es 0. La mayoría de las veces las variables se anulan, y por eso se consigue tal resultado.

Ejemplo: ax + by + c = 0

-         Ecuación de tipo segmentario o simétrico: En este tipo de ecuación, estas se presentan de forma segmentaria, es decir como fraccionaria, aquí el resultado no puede dar cero (0), por tanto no pueden anularse, veamos un ejemplo: x/a + y/ b = 1.

-         Ecuaciones de tipo paramétrica: Se trata de resolver ecuaciones, mejor dicho dos ecuaciones puestas en paralelo una encima de la otra para resolver una variable.

Las ecuaciones también tienen una serie de pasos o de formas para ser solucionadas, a continuación veremos cuáles son:

-         Las ecuaciones de primer grado, se resuelven en tres pasos, de forma resumida, claro está, estos pasos corresponden a la transposición, la simplificación y el despeje.

La transposición, es un proceso por el cual se separan las variables de los números, con la finalidad de poder despejar de forma más fácil y sencilla.

En la transposición de ubican a cada lado de la igualdad las variables al lado izquierdo y los números hacia el lado de derecho, de esta forma todas quedan ordenadas y fáciles a la vista.

Cuando se hace o se aplica la transposición, es común que los signos que acompañen a las variables y a los números cambien.

Si por ejemplo se pasa un número que estaba ubicado después de la igualdad y este tenía un signo negativo, al cruzarlo si es necesario se convierte en un número con signo negativo.

Recuerden que si no se cambia de lugar, no es necesario cambiar el signo que acompaña la variable o el número.

-         Con respecto a la simplificación, este es un proceso que consiste en reducir los datos o los elementos dentro de la ecuación entre iguales.
-         Por último el despeje es simplemente obtener el resultado, encontrar la incógnita.

Ecuaciones cuadráticas

Veníamos hablando en artículos anteriores, sobre lo que son las ecuaciones y las diferentes clases o tipo de ecuaciones que se pueden encontrar.

Decíamos también, que las ecuaciones como igualdades entre expresiones algebraicas, las cuales se llaman miembros, buscan o la finalidad de ellas es hallar la incógnita o incógnitas. 

En el artículo anterior, hablábamos sobre las ecuaciones de primer grado, aquellas que reciben su nombre porque las variables o los números están elevados o tienen una exponencial igual a uno (1).

En este artículo, nos dedicaremos entonces a hablar sobre las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, introducción:

Se les llama o se les conoce como ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, debido a que están elevadas o tienen una potencia correspondiente al número 2.

A diferencia de las ecuaciones de primer grado, donde el exponente es uno, en estas la mayor potencia es dos (2). Veamos un ejemplo: ax2 + bx + c= 0.

Para que entendamos mejor, la letra X corresponde a la variable, las letras a,b,c y c, corresponden dentro de la ecuación cuadrática a las constantes, es decir a las que no cambian y el exponente dos (2) que nos permite identificar el tipo de variable.

Cuando se quiere representar una ecuación cuadrática, siempre se debe tener en cuenta que esta tiene la forma de una parábola dentro del plano cartesiano.

Recordemos que las parábolas, son un espacio o lugar geométrico que se crea a partir de los puntos ubicados en el plano cartesiano y que se encuentran equidistantes dentro del mismo.

Si nos remontamos en la historia a buscar el origen de estas ecuaciones, diremos que las respuestas son totalmente inciertas, como la mayoría de los datos o elementos relacionados con las matemáticas.

Pero se conoce, que en las civilizaciones de la antigua Babilonia, se utilizó o se empleo este tipo de procedimientos matemáticos, se han encontrado algoritmos parecidos, que representan en parte las ecuaciones.

Entre lo que se ha encontrado de estas antiguas civilizaciones han sido vestigios de igualdades entre elementos o símbolos.

Con los años, en Grecia, se avanzó más hacia este tipo de algoritmos o formas de ecuación, la evolución y los aportes de pensadores matemáticos, permitieron tener las ecuaciones que hoy en día conocemos como tal.

Las ecuaciones de primer grado tiene formas para ser solucionadas, una de ella depende la fórmula para resolverla y la otra está directamente relacionada con un componente de la primera denominado discriminante.

La fórmula de las ecuaciones cuadráticas permite tener u obtener las raíces de la ecuación. Estas raíces son las soluciones posibles de las ecuaciones cuadráticas.

De estas raíces, se desprende o se sustrae la discriminante, esta permite saber la índole y la cantidad de raíces de la ecuación. Las discriminantes pueden tener dos tipos de valores, pueden ser discriminante positiva cuando la parábola cruza dos veces sobre el eje X y puede ser discriminante igual a cero, cuando la parábola solo toca un punto del eje X.

Clases de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado:

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, también se pueden clasificar, veamos:

-         Ecuación cuadrática completa: Este tipo de ecuación de segundo grado, tiene una forma de representación gráfico dentro del plano como canónica. 

En esta ecuación, también se presentan las tres constantes con valores que no pueden ser iguales a cero. Esta ecuación puede resolverse de tres formas o tres conceptos: 

1.     Que tengan dos números reales y diferentes entre sí.
2.     Que tenga dos números reales y que sean iguales.
3.     Que tenga dos números complejos, conjugados por la variable  según el valor de la discriminante.

Veamos un ejemplo: 

D= b2 – 8ac

-         Ecuación cuadrática incompleta pura: Se da o se presenta este tipo de ecuaciones de dos formas, una cuando a y c son diferentes del número 0. Y la segunda forma, es cuando es incompleta  cuando a no es igual a cero (0).

Veamos un ejemplo:

Cuando a y c son iguales a cero ---- ax2 + c = 0
Cuando es incompleta y a no es igual a cero ---- ax2 = 0

-         Incompleta Mixta: En este tipo de ecuación cuadrática, se define como tal cuando las constantes a y b no son iguales a cero (0). La forma para solucionar o despejar estas ecuaciones es por medio de la factorización de X. Es decir se toma X y se reemplaza por el valor de uno (1).

Veamos un ejemplo: ax2 + b2 = 0

Para solucionarlas o mejor, para despejar las ecuaciones cuadráticas existen algunos métodos con los que esto es posible. A continuación mencionaremos algunos.

-         Método de factorización: Este método consiste en solo tres pasos, el primero consiste en igualar la ecuación cuadrática a cero (0), de este modo el segundo paso consiste en que aquella igualdad que daba cero sea expresada con valores diferentes, tales como factores, por último se igualan de nuevo los factores de la ecuación y se despejan.

-         Método de raíz cuadrada: En este tipo de método para despejar ecuaciones cuadráticas, se hace uso de una ley de  propiedad de raíz cuadrada. 

Esta ley dice que cualquier número real R, la ecuación o ecuaciones dónde se tenga X2, es igual a que x es igual a +/- la raíz cuadrada de R es decir un número real cualquiera. De esta forma de despejan las ecuaciones de este tipo.

-         Método de complementación del cuadrado: Este método, consiste en hallar el tercer elemento que forma un trinomio cuadrado perfecto.  Cuando este es hallado se obtiene una ecuación de tipo equivalente.

De esta forma cuando se consigue el número faltante del trinomio, se reemplaza a ambos lados de la ecuación, de esta forma se obtiene una ecuación cuadrática que despejar.

Esta ha sido toda la información que este post a querido recopilar y entregarles de forma que pueda servirles con las dudas que tengan al respecto.
Recuerden que existen varios tipos de ecuaciones y que estas son sólo una de tantas otras.

Divisiones con decimales

¿Cómo se hacen divisiones con decimales?

Veníamos hablando en artículos anteriores, sobre lo que son las ecuaciones y las diferentes clases o tipo de ecuaciones que se pueden encontrar.

Decíamos también, que las ecuaciones como igualdades entre expresiones algebraicas, las cuales se llaman miembros, buscan o la finalidad de ellas es hallar la incógnita o incógnitas. 

En el artículo anterior, hablábamos sobre las ecuaciones de primer grado, aquellas que reciben su nombre porque las variables o los números están elevados o tienen una exponencial igual a uno (1).
En este artículo, nos dedicaremos entonces a hablar sobre las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, introducción:

Se les llama o se les conoce como ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, debido a que están elevadas o tienen una potencia correspondiente al número 2.

A diferencia de las ecuaciones de primer grado, donde el exponente es uno, en estas la mayor potencia es dos (2). Veamos un ejemplo: ax2 + bx + c= 0.

Para que entendamos mejor, la letra X corresponde a la variable, las letras a,b,c y c, corresponden dentro de la ecuación cuadrática a las constantes, es decir a las que no cambian y el exponente dos (2) que nos permite identificar el tipo de variable.

Cuando se quiere representar una ecuación cuadrática, siempre se debe tener en cuenta que esta tiene la forma de una parábola dentro del plano cartesiano.

Recordemos que las parábolas, son un espacio o lugar geométrico que se crea a partir de los puntos ubicados en el plano cartesiano y que se encuentran equidistantes dentro del mismo.

Si nos remontamos en la historia a buscar el origen de estas ecuaciones, diremos que las respuestas son totalmente inciertas, como la mayoría de los datos o elementos relacionados con las matemáticas.

Pero se conoce, que en las civilizaciones de la antigua Babilonia, se utilizó o se empleo este tipo de procedimientos matemáticos, se han encontrado algoritmos parecidos, que representan en parte las ecuaciones.

Entre lo que se ha encontrado de estas antiguas civilizaciones han sido vestigios de igualdades entre elementos o símbolos.

Con los años, en Grecia, se avanzó más hacia este tipo de algoritmos o formas de ecuación, la evolución y los aportes de pensadores matemáticos, permitieron tener las ecuaciones que hoy en día conocemos como tal.

Las ecuaciones de primer grado tiene formas para ser solucionadas, una de ella depende la fórmula para resolverla y la otra está directamente relacionada con un componente de la primera denominado discriminante.

La fórmula de las ecuaciones cuadráticas permite tener u obtener las raíces de la ecuación. Estas raíces son las soluciones posibles de las ecuaciones cuadráticas.

De estas raíces, se desprende o se sustrae la discriminante, esta permite saber la índole y la cantidad de raíces de la ecuación. Las discriminantes pueden tener dos tipos de valores, pueden ser discriminante positiva cuando la parábola cruza dos veces sobre el eje X y puede ser discriminante igual a cero, cuando la parábola solo toca un punto del eje X.

Clases de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado:

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, también se pueden clasificar, veamos:
-Ecuación cuadrática completa: Este tipo de ecuación de segundo grado, tiene una forma de representación gráfico dentro del plano como canónica. 

En esta ecuación, también se presentan las tres constantes con valores que no pueden ser iguales a cero. Esta ecuación puede resolverse de tres formas o tres conceptos: 

1.Que tengan dos números reales y diferentes entre sí.
2.Que tenga dos números reales y que sean iguales.
3.Que tenga dos números complejos, conjugados por la variable  según el valor de la discriminante.

Veamos un ejemplo: 

D= b2 – 8ac

-Ecuación cuadrática incompleta pura: Se da o se presenta este tipo de ecuaciones de dos formas, una cuando a y c son diferentes del número 0. Y la segunda forma, es cuando es incompleta  cuando a no es igual a cero (0).

Veamos un ejemplo:

Cuando a y c son iguales a cero ---- ax2 + c = 0

Cuando es incompleta y a no es igual a cero ---- ax2 = 0

-Incompleta Mixta: En este tipo de ecuación cuadrática, se define como tal cuando las constantes a y b no son iguales a cero (0). La forma para solucionar o despejar estas ecuaciones es por medio de la factorización de X. Es decir se toma X y se reemplaza por el valor de uno (1).

Veamos un ejemplo: ax2 + b2 = 0

Para solucionarlas o mejor, para despejar las ecuaciones cuadráticas existen algunos métodos con los que esto es posible. A continuación mencionaremos algunos.

-Método de factorización: Este método consiste en solo tres pasos, el primero consiste en igualar la ecuación cuadrática a cero (0), de este modo el segundo paso consiste en que aquella igualdad que daba cero sea expresada con valores diferentes, tales como factores, por último se igualan de nuevo los factores de la ecuación y se despejan.

-Método de raíz cuadrada: En este tipo de método para despejar ecuaciones cuadráticas, se hace uso de una ley de  propiedad de raíz cuadrada. 

Esta ley dice que cualquier número real R, la ecuación o ecuaciones dónde se tenga X2, es igual a que x es igual a +/- la raíz cuadrada de R es decir un número real cualquiera. De esta forma de despejan las ecuaciones de este tipo.

-Método de complementación del cuadrado: Este método, consiste en hallar el tercer elemento que forma un trinomio cuadrado perfecto.  Cuando este es hallado se obtiene una ecuación de tipo equivalente.

De esta forma cuando se consigue el número faltante del trinomio, se reemplaza a ambos lados de la ecuación, de esta forma se obtiene una ecuación cuadrática que despejar. Esta ha sido toda la información que este post a querido recopilar y entregarles de forma que pueda servirles con las dudas que tengan al respecto.

Recuerden que existen varios tipos de ecuaciones y que estas son sólo una de tantas otras.

Álgebra booleana

Se suele caer en el error de pensar que a veces una ciencia solo se defina tal cual por lo que es, sin embargo con los años y la evolución de las cosas, nos hemos dado cuenta las ciencias tienen sus divisiones internas y con ellas un sin número de características que las definen entre uno y otro aspecto.

Es el caso del álgebra, muchas veces cuando nos hablan de esta ciencia, uno piensa que solo existe una y ya está, como la que recibimos en clases cuando nos preparamos en la escuela.
Sin embargo, en el post de hoy, les hablaré sobre un algebra distinta, el Algebra Booleana o de Boole.

¿A qué se refieren con Algebra Booleana?

El término de Algebra Booleana o de Boole, es en honor al matemático Inglés de mismo apellido, que se dedicaba a las matemáticas de forma autodidacta.

El, fue la primera persona en definir al algebra como un ciencia que describía sistemas lógicos, o proporcionales. 

De esta forma Boole, dio inicio al uso de su teoría como el algebra empleada para todos aquellos aspectos que tienen que ver con la electrónica, llámese circuitos, interruptores, transistores entre otros.

El Algebra Booleana, es considerada,  una herramienta que permite en análisis y el diseño de circuitos de forma digital.

El algebra Booleana, aunque similar en muchos aspectos al algebra que conocemos, es el conjunto de unas reglas matemáticas que están sumamente ligadas al comportamiento, uso y funcionamiento de circuitos basados en dispositivos de toda clase.

Dentro del algebra Booleana, se tienen unos postulados o leyes que debe seguirse, algunas personas los resumen en 5 otras 6 leyes diferentes, veamos de que se tratan estas leyes.
  1. 1.La primera ley del algebra Booleana, consiste en la suma y la multiplicación de dos o más elementos que se encuentren dentro del conjunto.
Ejemplo: a. a = a --- a + a = a
  1. 2.La segunda ley tiene relación con los neutros dentro de un conjunto, en este caso, en un conjunto determinado existen neutros en la suma  O y el neutro de la multiplicación 1, veamos un ejemplo para comprender mejor esta segunda ley de Boole.
Ejemplo:   x + O = x ----- x .1 = x
  1. 3.La tercera es la Ley de conmutatividad, recordemos que la conmutatividad menciona que el orden de los elementos no afecta el resultado. Veamos un ejemplo:
X +y = y + x  -------- y.y = y.x Recordemos que todas estas leyes aplican con la suma y la multiplicación siempre en todos los conjuntos.
  1. 4.La cuarta ley, es la ley de asociatividad, veamos un ejemplo:
Ejemplo: x + (y + z) = (x + y) = z --- x( y.z) = (x.y)= z
  1. 5.La quinta ley es la ley distributiva, en la que se combinan sumas con multiplicaciones, veamos.
Ejemplo: x + (y.z) = (x  + y) + z ----- x (y + z) = (x. y) + (x.y)

Estas han sido las leyes o postulados, bajo los que se rige esta algebra de Boole, con ella se realizan todas las operaciones basándose en la suma y la multiplicación de los conjuntos.

Clases de álgebra Booleana

Dentro de este tipo de algebra, se emplean tres ejemplos o clases de este tipo, estas son: Lógica proposicional, álgebra de conjuntos y algebra de switches.
  1. -Algebra de lógica proposicional: Las lógicas proposicionales, hacen relación con un sistema formal, es decir relacionado con los sistemas, sean informáticos o lenguaje de sistemas, esto está relacionado de forma más sistemática con la informática.

Las proposiciones construyen conectividades, las cuales son capaces o tienen la capacidad de crear mayores conectividades y de forma más compleja.

-Algebra de conjuntos: Este tipo de algebra, tiene que ver con las operaciones básicas que pueden hacerse entre conjuntos, para quienes piensan que estas son la suma la resta y las demás, están muy equivocados.

Los conjuntos, tienen sus propias operaciones y estas son: 
-La unión entre dos o más conjuntos
-La intersección.
-El complemento.
-La diferencia
-El producto cartesiano

-Algebra de switches: Esta algebra tiene una relación muy directa con los conmutadores. Estos dispositivos digitales y lógicos, permiten la interconexión, ya sea de redes o de cualquier otra máquina que los requiera para su funcionamiento.

Este tipo de algebra, está relacionada con las formas en las que se pueden conectar múltiples aparatos a uno solo, por medio claro esta de los switches o conmutadores.

Dado que el algebra Booleana es la que permite la electrónica digital, a continuación mencionaremos los principios por la que se rigen actualmente gracias a los postulados de Boole.

Por medio de la electrónica que le debe su existencia a este tipo de algebra, que en la actualidad las sociedades cuentan con un gran número de aparatos que funcionan y que facilitan la vida de esta forma.

Existen dos formas de electrónica, la digital y la análoga, comencemos con la análoga.

-Los sistemas que trabajan de forma analógica, trabaja con señales que tienen valores continuos. Ejemplos de este tipo de sistemas a base analógica son aquellos que tienen relación con la temperatura, el sonido, la profundidad entre otros.

-Los sistemas que trabajan de forma digital, tienen que procesar, tratar o transmitir datos o información que está ligada a valores concretos, es decir que no cambian.

Por esto es necesario un tratamiento que permita de entender las magnitudes o señales informativas que se tienen por medio de los sistemas digitales.

En la actualidad, vemos que muchos de los aparatos o sistemas que conocemos como analógicos, han tenido drásticos cambios en su funcionamiento, convirtiéndolos en digitales.

El ejemplo más grande de este tipo de transformación es con las cámaras fotográficas.
Recuerden que hace unos años, las personas solían emplear rollos fotográficos para plasmar las fotografías. Ahora, eso no es necesario, una cámara fotográfica de tipo digital le permite acceder a sus fotos de forma instantánea.

Las ventajas de los sistemas digitales, abarcan una mayor confianza dentro de los circuitos utilizados, tiene una mejor forma de diseño, que se ajusta en la medida de lo necesario o requerido y permite la flexibilidad.